Conferencia presentada por el Proyecto de Investigación Dinámicas de Control.

En esta charla se presentarán algunos conceptos básicos acerca de los problemas de control óptimo a tiempo discreto, tanto el caso estocástico (procesos de decisión markovianos) como el caso determinístico. Los modelos estocásticos han sido ampliamente estudiados considerando diversos criterios de optimalidad: descontados y ergódicos (no descontados). Sin embargo, curiosamente los problemas de control óptimo deterministas no han recibido la misma atención y quedan aún preguntas por responder, en especial los relativos a la caracterización de las políticas optimas cuando se consideran criterios sin descuento (promedio, sesgo, rebasante), se presentará algunos resultados preliminares al respecto y a manera de ilustración, estudiaremos un modelo de administración óptima de recursos renovables. 

En esta presentación mostraremos el estado de avance sobre los problemas inversos de autovalores para matrices no negativas. Definimos una matriz no negativa A = [aij ]n si todas sus entradas son no negativas y se denota como A ≥ 0. Afirmamos también que una lista de valores complejos Λ = (λ1, . . . , λn) es realizable si, y solo si constituyen los autovalores de una matriz A. Recíprocamente, diremos que una matriz A realiza la lista Λ, si σ(A) = {λ1, . . . , λn}.

Problema 1 El problema inverso de autovalores para matrices no negativas (NIEP), consiste en determinar condiciones necesarias y suficientes para que una lista Λ = (λ1, λ2, . . . , λn) sea realizable por una matriz no negativa. Existen las siguientes variantes de este problema:
1. SNIEP, en caso que la matriz realizadora sea simétrica no negativa.
2. PNIEP, en caso que la matriz realizadora sea persimétrica.
3. LNIEP, en caso que la matriz realizadora sea una matriz de Leslie.

Este problema y sus variantes, apenas esta resuelto para dimensiones menores o iguales a 4, y en casos particulares para dimensión superiores. Dada la dificultad del problema apenas se conocen algunas condiciones necesarias y en contra partida varias condiciones suficientes.

Los espacios topológicos finitos, son el centro de interés de nuestro estudio, se introduce el concepto de retículo en estos espacios además del concepto de grafo como un instrumento matemático. Representamos la estructura de una topología por un retículo de conjuntos abiertos de un espacio topológico; a partir de ello se desarrolla la conexión natural y profunda entre las topologías y los grafos finitos. Esta conexión da un significado exacto de la noción cualitativa de la estructura y además proporciona un cálculo gráfico-teórico de las características más importantes de los espacios topológicos finitos.

Tema de Métricas en Educación Matemática.

La Teoría de Ramsey es el estudio de la preservación de propiedades bajo las particiones de conjuntos. Un tema de frecuente aparición en dicha teoría es que cualquier coloración finita de una estructura suficientemente grande, contiene un subsistema monocromático con un grado de organización más elevado que el sistema mismo, o como lo señalara T.S. Motzkin: " El desorden absoluto es imposible".

La teoría de Ramsey es un campo relativamente nuevo de las matemáticas y se solapa con áreas clásicas como la combinatoria, la teoría de números, la geometría, la teoría ergódica, teoría de conjuntos y teoría de la medida. Posee sus propias ideas unificadoras y algunos de sus resultados se consideran entre los más elegantes de las matemáticas. 

Dentro de la topología algebraica de los espacios finitos, además de los invariantes algebraicos hay otros invariantes que lo son del tipo de homotopía, pero no del tipo de homotopía débil. Un ejemplo es la llamada la categoría de Lusternik-Schnirelmann definida como el menor número de abiertos de un espacio cuya inclusión es homotópicamente trivial y actualmente es el prototipo de los llamados invariantes numéricos de la topología algebraica.

En esta exposición se presenta el invariante homotópico conocido como categoría de Lusternik.Schnirelmann para espacios finitos.

La noción de límite es un concepto base para el desarrollo de la matemática, no solo en análisis matemático, también en otras áreas como teoría de números, y en estructuras algebraicas relacionadas con la noción de límite y continuidad. En la presente exposición, se presenta una definición de límite de funciones reales de variable real tipo ε-δ. Se desarrolla propiedades básicas que se espera de un límite, mostrando con ejemplos aquellas propiedades que cumplen los límites de funciones usuales pero que los limites por corona no lo cumplen es cierto sentido general.

Una aplicación importante de l-grupos abelianos es el estudio de la teoría de dominios de integridad a través de grupos de divisibilidad.Convertiremos un anillo conmutativo en un grupo reticularmente ordenado, tomando en cuenta los conceptos de divisibilidad y dominios de Bezout.

El objetivo es estudiar algunas propiedades de los anillos desde el punto de vista de l-grupos.Alcanzaremos grupos de divisibilidad arquimediano para un dominio de Bezout completo e íntegramente cerrado.Los grupos de divisibilidad forman una parte preliminar de una amplia teoría, la teoría de “l-grupos y dominios de Bezout” lo que permiten construir la MV – algebras una especie de algebras de Boole para la lógica polivalente.

El estudio de la estabilización de sistemas dinámicos es de bastante interés, uno de los métodos más usados es el de Lyapunov. Para el problema de estabilización de sistemas de control, V.I. Korobov introduce la función de controlabilidad que implica una función de tipo Lyapunov, con lo cual se obtienen controles acotados que estabilizan el sistema de control en tiempo finito y de esta manera resolver el problema de síntesis.  Además, presentamos el problema de estabilizar el sistema Rössler en tiempo finito mediante controles acotados. Palabras clave: [Sistema Rössler, función de Korobov,  estabilización de tiempo finito]

Encontrar una  curva que  minimice un cierto funcional dado  es un problema fundamental en análisis,  mecánica, geometría,  etc.   Bajo condiciones de  C^2  diferenciabilidad en  el Lagrangiano  como en la  curva, se presentan de  forma natural  tres condiciones necesarias  que debe satisfacer la(s)  curva(s)  optima(s).   Enunciamos tales condiciones  y  damos  un esbozo  de sus  demostraciones.

El grupo de Heisenberg es un grupo de Lie de dimensión tres que puede ser parametrizado de manera global con el espacio Euclideano, este es el punto de partida para estudiar de una manera comprensible la geometría del grupo de Heisenberg e introducir sobre ella una métrica Lorentziana. Teniendo en mente la teoría clásica de superficies, estudiamos las superficies de tipo tiempo en el grupo de Heisenberg Lorentziano; determinamos por ejemplo la ecuación que describe una superficie mínima, describimos la aplicación de Gauss de tales superficies y demostramos que no existen superficies de tipo tiempo totalmente umbílicas en el grupo de Heisenberg Lorentziano.

El estudio de ecuaciones en diferencias de tipo racional representa en la actualidad un área de investigación fructífera y atrae a muchos investigadores matemáticos. Muchos fenómenos reales se modelan usando ecuaciones en diferencias.

En esta exposición, determinamos una solución explícita y de tipo constructivo para una ecuación en diferencias de tipo racional y de orden k+1. La solución establecida se logra convirtiendo la ecuación en diferencias en una de tipo Ricatti. De igual forma, se determina el comportamiento global de tales soluciones. Como un caso particular  el procedimiento empleado obtiene como solución el resultado obtenido por Gümüs y Abo-Zeid que establecieron recientemente una demostración de tipo inductivo.

El modelado inverso identifica un conjunto de parámetros del modelo, de tal forma que los resultados (outputs) del análisis directo coinciden con resultados o mediciones deseadas. Algunos problemas de modelado inverso pueden ser planteados como problemas de optimización (minimización) de una cierta función (loss function), que mide la discrepancia entre la predicción y la observación, sobre parámetros o funciones admisibles. Cuando los parámetros corresponden a funciones en un espacio de dimensión infinita, las redes neuronales profundas (aprendizaje automático) exhiben la capacidad de aproximarlas y las restricciones se aplican mediante esquemas numéricos. Los problemas inversos son omnipresentes en ciencias e ingeniería y muchos problemas de ingeniería de la vida real se pueden formular como problemas de modelado inverso: optimización para mejorar el rendimiento de estructuras, control óptimo de sistemas de dinámica de fluidos, etc.

La hiperbolicidad uniforme y la hiperbolicidad parcial están definidas en términos de distribuciones del fibrado tangente invariantes por la dinámica y con propiedades de contracción o expansión de los vectores. Los vectores que presentan expansión conforman una distribución del fibrado tangente, es decir, en cada punto conforman un subespacio vectorial del espacio tangente de la misma dimensión. Similarmente para los vectores que presentan contracción. Estas distribuciones no son diferenciables, solo son continuas, sin embargo son integrables, dando lugar a las foliaciones estable e inestable. En el caso parcialmente hiperbólico, existen vectores que no se expanden ni contraen de manera suficiente por la dinámica, estos vectores conforman una distribución central. Esta distribución, inclusive en los casos en los que es integrable puede no ser únicamente integrable. En esta exposición se explicarán estos conceptos, algunas de las consecuencias dinámicas importantes obtenidas a partir de las foliaciones estable e inestable. También se explicarán, algunas dificultades provenientes de la falta continuidad absoluta de la foliación central que dan lugar a ejemplos de lo que se conoce como la pesadilla de Fubini. Se mostrarán algunos problemas abiertos en la teoría de difeomorfismos parcialmente hiperbólicos.

Proyecto de Sistemas Dinámicos

El Análisis de Correspondencias (AC) se inspira en un fenómeno real, trata de los logros de un conjunto de individuos en términos de dos variables cualitativas, cada una con un cierto número de modalidades o categorías. Tradicionalmente, el AC se basa en la denominada Matriz de Burt y tiene varias presentaciones equivalentes, bajo este enfoque se prioriza determinar la relación entre las variables (ya que correlación no es posible).

En  este trabajo se adopta un enfoque menos usual del AC, pero también equivalente. Este enfoque empieza preservando la información sobre individuos en una Matriz Indicatriz y se prioriza la obtención de un ordenamiento de los individuos. Este ordenamiento es más que una relación ordinal, se da en un espacio métrico unidimensional en función de sus logros en términos de las variables cualitativas. Para ello, la matriz indicatriz es re-escalada de modo que exprese una distribución conjunta, cuyas marginales constituyen ponderadores de cada individuo en el caso de las filas, y de cada modalidad en el caso de las columnas; es decir, la nube de puntos-fila y la nube de puntos-columna están ponderadas por sus respectivas marginales. Tomando en cuenta que cada nube está en un espacio diferente y siguiendo el criterio de dar mayor importancia a las coordenadas más frecuentes, el espacio donde está una nube de puntos es dotado de un producto interno asociado a la matriz de pesos de la otra nube. En cada uno de estos espacios euclidianos, la inercia de la respectiva nube es descompuesta ortogonalmente por proyección sobre un sistema de ejes denominados ejes factoriales; bajo estrecha relación de dualidad, la proyección o factor resultante establece un ordenamiento de los individuos en un caso y de las modalidades en el otro. En la parte final, con datos del último Censo Nacional de Población y Vivienda de Bolivia, se incluye una aplicación ilustrativa.

El fundamento matemático del AC, como se muestra a lo largo del desarrollo del presente trabajo, es el Teorema de Descomposición de Valor Singular Generalizado.

El modelo SIRS (Susceptibles, Infecciosos, Recuperados, Susceptibles), permite la pérdida de la inmunidad, es decir, que un individuo recuperado pase a ser un individuo susceptible a la enfermedad nuevamente. Como la ecuación que describe a la clase infectada es la misma que en el modelo clásico de Kermack  y McKendrick se obtendrán los mismos resultados tales como, el número reproductivo básico de la infección

La Teoría de la Medida Espectral establece una generalización especial de medida; es decir, es una aplicación de un espacio de medida abstracto en una colección de proyecciones ortogonales en un espacio de Hilbert. Por lo tanto, se presentan los resultados de las proyecciones ortogonales en un espacio de Hilbert, luego con cierta analogía a la usual, se define una medida espectral, sus propiedades, y su extensión de un álgebra a un sigma álgebra. Finalmente, se usa esta medida para efectuar la integración de funciones escalares (acotadas y no acotadas). Esta teoría será aplicada a la solución de las ecuaciones de evolución.

Una clase de métodos para resolver problemas de programación lineal de dimensiones grandes, es el método de puntos interiores de predictor-corrector de Mehrotra, en la cual, se debe resolver sistemas lineales simétricos mediante algoritmos iterativos donde la matriz de coeficientes del sistema es altamente mal condicionado cuando se aproxima al punto óptimo. Para mantener la eficiencia de los métodos, una de las estrategias es mejorar el condicionamiento de la matriz mencionada aplicando un precondicionador apropiado. De manera que, en las primeras iteraciones es suficiente aplicar un precondicionador basada en una descomposición incompleta de Cholesky, en tanto que, que en las iteraciones finales, cuando la matriz de coeficientes queda muy mal condicionada, se cambia al precondicionador separador basada en una base de columnas de la matriz de restricciones. Elegir una clase de descomposición incompleta de Cholesky, un criterio para hallar una base de columnas o un criterio de cambio de precondicionador generan diversos abordajes para resolver de manera eficiente y robusta problemas de programación lineal (PL) donde la dimensión de la variable de decisión es grande.